proposiciones con conectores

1. Una proposición es un enunciado o una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Una proposición es verificable, por ende, es un elemento fundamental de la lógica matemática y de la lógica digital.
   A continuación se tienen algunos ejemplos de enunciados que son proposiciones y algunos que no lo son, se explica el porqué algunos de estos enunciados no son, como tal, proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Por ejemplo.
   p: La tierra es plana.
   q: -12 + 28 = 21
   r: x > y + 1
   s: Talleres será campeón en la presente temporada de Fútbol Argentino.
   t: Hola ¿Qué tal?
   v: Resistencia es la capital del Chaco
   w: Lava el coche, por favor.
    Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento y v es una proposición verdadera. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
   
   
   
   
2. CONECTORES LÓGICOS Y PROPOSICIONES COMPUESTAS.
   Las proposiciones anteriores son todas, proposiciones simples. Para obtener proposiciones compuestas se deben ligar o combinar más de una proposición simple. Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples). Los operadores o conectores básicos son: y, o, no, no o, no y, o exclusiva, no o exclusiva
    
   2.1    Operador and (y) - Operación Conjunción

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: {Ù , un punto (.), un paréntesis, o también, Ç }. Se le conoce como la multiplicación lógica(en la matemática booleana):

Algunos ejemplos son:

1. La proposición "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" está formada por dos proposiciones simples: q y r

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

Con p: El coche enciende.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p = q Ù r

Su tabla de verdad es como sigue:

.q	.r	.p = q Ù r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

  Donde:    1 = verdadero 0 = falso

En la tabla anterior el valor de q = 1 significa que el tanque tiene gasolina, r = 1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r = 1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina o no tiene corriente la batería y que, por lo tanto, el carro no puede encender.

2.  La ciudad x está en Francia y es su capital es una proposición compuesta por las proposiciones simples:

p: La ciudad x está en Francia. Qué es verdadera solo para todas las ciudades x que estén en Francia de lo contrario será falsa y,

r: La ciudad x es capital de Francia. Qué es verdadera solo si x es Paris de lo contrario será falsa

Con ello la proposición compuesta q: p Ù r será verdadera solo si x es Paris, de lo contrario será falsa, como lo muestra la tabal correspondiente.

.p	.r	.q = p Ù r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

El operador y en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección, por ello se le puede representar como lo muestra la figura No 1:

Figura No 1.    p Ù r

También tiene representación circuital con interruptores ,como aparece en la figura 2. Si los dos interruptores están cerrados(indicando verdadero o "1" lógico) la lámpara se enciende de lo contrario no.

Figura No 2 Circuito con interruptores que representa la función lógica Conjunción(AND) p Ù r

2. Operador Or (o) – Operación Disyunción

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {Ú ,+,È }. Se conoce como las suma lógica en el Álgebra Booleana. En términos literales se comporta como y/o. Por ejemplo:

1. Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase". Donde.

p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

 La proposición compuesta es p: q v r y la tabla de verdad representativa es:

.q	.r	.p: q Ú r
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

La única manera en la que no puede ingresar al cine (p = 0), es que no compre su boleto (q = 0) y que, además, no obtenga un pase (r = 0).

2.  Con la proposición

m: Iré al estadio si juega Santa fé o me invitan

Compuesta por las proposiciones:

p: Juega Santa Fé

q: Me invitan al estadio

Se obtiene la proposición compuesta cuya notación es:

.m: p v q

La tabla de verdad correspondiente es:

.p	.q	.m: p Ú q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

En cualquier caso la operación OR o la disyunción se asimila a la operación Unión entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:

Figura No 3. Diagrama de Venn de una Disyunción p n q

Y en circuito de conmutación, así:

Figura No 4. Representación circuital de una disyunción (OR) p v q

de tal suerte que es suficiente con que uno de los dos interruptores este cerrado para obtener un "1" lógico, es decir, que la lámpara encienda.

2. Operador Not (no) – Operación negación

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø ,- }. Por Ejemplo.

1. Teniendo la proposición :
   p: La capital de Francia es Paris (p = 1),
   su negación será :
   p’: no es la capital de Francia Paris(p’= 0)

    2.  Para p: 2x4 = 6 (p = 0)

p’: 2x4 ≠ 6 (p’ = 1)
  

.p	p’
1	0
0	1

Con 1 verdadero y 0 falso.

También, tiene expresión en la teoría de conjuntos y es el denominado complemento, cuyo diagrama de Venn es:

Figura No 5. Diagrama de Venn Operador not - Negación

En términos de circuito su representación será, como aparece en la figura No 6, Cuando se cierra p ("1" lógico) el led se apaga (falso o "0" lógico) y si p se abre ("0" lógico) el led se enciende (verdadero o "1" lógico).

Figura No 6. Representación circuital de una negación (NOT) p’

3.  La O exclusiva (Disyunción exclusiva)

Es el operador que conecta dos proposiciones en el sentido estricto de la "o" literal, o es blanco o es negro; es o no es.

El operador se denomina XOR, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son verdaderas el resultado es falso, igual si las dos son falsas. Se nota como Å . Algunos ejemplos son:

1. r: Antonio canta o silva

La proposición está compuesta por las proposiciones

p: Antonio Canta

y, q: Antonio silva

Su notación es:    p: r Å q

Y su tabla de verdad será:

.p	.q	.r = p Å q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

La XOR o disyunción exclusiva se asimila a la operación Unión exclusiva entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:

.p Å q

Figura No 7. Diagrama de Venn de una Disyunción exclusiva (XOR)

Y en circuito de conmutación, así:

Figura No 8. Representación circuital de una disyunción exclusiva XOR p Å q

El led será encendido si los interruptores están en posiciones contrarias de cualquier otra forma se conservara apagado("o" lógico)

4.  Combinaciones con negacion.

Con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Se hará un recorrido muy somero por cada uno de ellos. Se recomienda acudir a la bibliografía respectiva para precisar mejor los conceptos.

1.  Operador NAND – Conjunción negada

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado falso, en cualquier otro caso la proposición compuesta es verdadera. Su símbolo es: {(Ù )’, (.)’, (Ç)’}.

De tal manera que la representación de una proposición queda como sigue:

p = (q Ù r)’

Cuya tabla de verdad es complemente contraria a la conjunción:

.q	.r	p = (q Ù r)’
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

 Donde: 1 = verdadero 0 = falso

El operador "y negado", en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección complementada, por ello se le puede representar en diagrama de Venn como lo muestra la figura No 8:

Figura No 8. (q Ù r)’

El conector NAND también tiene representación circuital con interruptores, como aparece en la figura 9.

Si los dos interruptores están cerrados(indicando verdadero o "1" lógico) el led se apaga ("0" lógico) de lo contrario está encendida ("1" lógico). Su comportamiento es completamente contrario a la conjunción.

Figura No 9. Circuito con interruptores que representa la función lógica Conjunción(NAND) (q Ù r)’

2.  Operador NOR – Disyunción negada

Es el Inverso de la disyunción, por ello, se obtiene con este operador un resultado verdadero en el único caso que se obtenía falso en la disyunción, es decir, cuando las proposiciones son falsas. En cualquier otro caso da un resultado falso. Se e indica por medio de los siguientes símbolos: {(Ú )’, (+)’, (È )’}. Se conoce como las suma lógica inversa en el Álgebra Booleana.

La proposición compuesta es

r: (p Ú q)’

y la tabla de verdad representativa es:

.p	.q	.r = (p Ú q)’
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1

En cualquier caso la operación NOR o la disyunción negada se asimila a la operación Unión entre conjuntos, pero, complementada; por ello en diagrama de Venn se representa como en la figura No 10, donde se considera como resultado todo lo que en la disyunción no lo era, así:

Figura No 10. Diagrama de Venn de una Disyunción negada

El circuito de conmutación queda como en la figura No 11.

La única forma en que se ACTIVE el led("1" lógico), es que ninguno de los interruptores se cierre("1" lógico) el led se conservará APAGADO("0" lógico.

Figura No 26. Representación circuital de una disyunción negada (NOR) (p v q)’

3.  Operador XNOR – Disyunción exclusiva negada

Es el operador que niega al conector O exclusivo , así , que tan solo es verdadera la proposición compuesta sí, o, bien, las dos son verdaderas o las dos son falsas(más adelante veremos que también se denominaequivalencia).

El operador se denomina XNOR, Se nota como , algunos también lo notan como (Å )’.

La tabla de verdad será:

.p	.q	.r = p  q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

La XNOR o disyunción exclusiva se asimila a la operación Unión exclusiva pero complementada, por ello el diagrama de Venn se representa, así:

Figura No 11. Diagrama de Venn de una Disyunción exclusiva (XNOR)

Y en circuito de conmutación, así:

Figura No 12. Representación circuital de una disyunción exclusiva XNOR p  q

De manera que los dos interruptores en "1", o, los dos en "0" originan un estado encendido "1" en el led; de lo contrario se conservara apagado "0".

4.  Otros Conectores y operaciones lógicas

1. Proposiciones condicionales.

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

.p ® q                   Se lee "Si p, entonces, q"

  Ejemplo.

El candidato administrativo dice "Si salgo electo Gobernador, recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año". Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean

p: Salgo electo Gobernador.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

 De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

  p ® q

 Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

.p	.q	.p ® q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato a Gobernador mintió con la afirmación del enunciado anterior.

Cuando:

p = 1; significa que salió electo,

q = 1 recibieron un aumento del 50% en su sueldo,

por lo tanto p ® q = 1;

significa que el candidato dijo la verdad en su campaña.

Cuando

p = 1 y q = 0 significa que p ® q = 0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.

Cuando

p = 0 y q = 1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato a Gobernador, y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que la proposición p ® q = 1.

 Cuando

p = 0 y q = 0 significa que aunque no salió electo, tampoco se dio un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato al CSU y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que la proposición p ® q = 1.

2.  Proposición bicondicional.

 Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:

.p « q Se lee "p, si solo si, q"

  Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Por Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

  "Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de cinco"

Donde:

p: Es buen estudiante.
q: Tiene promedio de cinco.

  por lo tanto su tabla de verdad es.

p	.q	.p « q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas. Es la misma Disyunción exclusiva inversa o negada (XNOR),

 

1. LAS TABLAS DE VERDAD
    
1. USO TABLAS DE VERDAD

Desde ya, se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos y más aún, establecer la veracidad de tal proposición.

Ejemplo.

1. Sean las proposiciones:

 p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar circuitos digitales.

r: Aprobaré el curso.

.q	.r	.p = q Ù r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0
.q	.r	.p = q Ú r
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0
.q	.r	.p = q Å r
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0
.q	.r	p = (q Ù r)’
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1
.q	.r	p = (q Ú r)’
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1
.q	.r	p = q  r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1
.p	.q	p ® q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Figura No 13. Tablas de verdad de los conectores lógicos básico

El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar circuitos digitales o no aprobaré el curso". Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

 (p Ù q) Ú r ’

De tal proposición, puedo hallar su valor de verdad.

Antes de hacerlo, se presenta un resumen de las tablas de verdad en la figura No 13.

 El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2ⁿ Donde n = número de variables distintas.

Por ser tres proposiciones (variables) p, q y r. La tabla tendrá ocho posibilidades para combinar la condición de verdad de cada una ya que 2³ = 8. Con ayuda de la tabla de la figura 29. la tabla del presente ejemplo queda así:

.p	.q	.r	.r’	.p Ù q	(p Ù q )Úr’
0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	1	1

Debe observarse, que el operador Conjunción se desarrolla primero que el operador disyunción por la jerarquía de los operadores planteada en la sección 2.2.4.1.

Para que la proposición compuesta sea verdadera se requiere que r sea falsa, no importando p ni q. También, en el caso en que p, q y r sean verdaderas. En todos los demás casos la expresión es falsa.

2. Del enunciado, hallar la condición de verdad:

" Si tengo dinero, entonces, pagaré el semestre; o, no pago el semestre y voy a Europa. Si y solo sí, si voy a Europa, entonces, tengo dinero

Esta compuesto por tres proposiciones que son:

.p: Tengo dinero

.q: Pagaré el semestre

.r: Iré a Europa

                                   proposiciones

Juicio

(del latín, iudicium, acción judicial, proceso) 

Acto por el que el intelecto afirma que un sujeto pertenece (o no) a un predicado dando lugar a una frase capaz de ser verdadera o falsa. 

La lógica tradicional considera como formas o productos del pensamiento a los términos, los juicios y los argumentos.

Los términos tienen sentido (su sentido está constituido, como decíamos, por todas aquellas notas que forman parte de su comprensión, que están implícitas en su propio significado) y pueden ser considerados, por tanto, como elementos categoremáticos (del griego: categoría, acusación). Con su ayuda se puede "acusar" a algo de poseer o no una propiedad, pero su sola mención no constituye ninguna acusación, al menos hasta que no aparezca en un juicio.

El juicio es una forma más compleja del pensamiento, concretamente aquella mediante la cual se dice algo de algo o se atribuye algo a algo, o bien se expresa una relación entre dos o más o determinaciones. Un juicio se expresa mediante un enunciado o proposición, mientras que una determinacion se expresa con un término, y la argumentación por el razonamiento. 

A los dos términos del juicio, del enunciado o de la proposición, se los denomina, al menos desde Aristóteles, sujeto y predicado. Entre ellos se afirma o niega una relación de identidad, por medio de la cópula «es». Esta relación puede esquematizarse como «S es P». El término sujeto (S) indica la clase o conjunto de cosas de las que se afirma algo, y el término predicado (P), aquello que el enunciado afirma del sujeto. Ambos términos se unen mediante el verbo que recibe el nombre de «cópula»; en su forma estándar, la cópula es el verbo ser. 

Afirmar o negar el sujeto del predicado es incluir la determinación que aparece en el sujeto en la del predicado. Al decir «los moluscos son animales», se dice que "molusco" es una especie (próxima o remota) de "animal" , o que al sujeto "molusco" le conviene el predicado "animal", puesto que las características del sujeto son características de un conjunto de cosas más amplio representado por el predicado.

Este tipo de juicios se denominan juicios categóricos y las proposiciones que los expresan son las proposiciones categóricas.

Tipos de proposiciones categóricas

Además del sujeto y predicado, que son términos categoremáticos, y del verbo, en un enunciado categórico puede haber términos sincategoremáticos, que precisan el tipo de relación que se establece entre sujeto y predicado. De ellos depende la cualidad y la cantidad del enunciado.

Los enunciados son, según la cantidad, universales o particulares. 

El enunciado universal afirma un predicado de toda la clase nombrada por el sujeto. El particular, de parte sólo de la clase.  

Sin embargo, es importante tener en cuenta que aquello de lo que se habla es, en todo momento, de la clase misma. Los juicios universales versan sobre características esenciales para definir esa clase y que, por tanto, todos sus miembros han de poseer ("todo humano es animal"), y los particulares de propiedades que no son incompatibles (contradictorias) con las anteriores, pero que tampoco son necesarias o esenciales, sino que pueden ser o no poseídas por los miembros de la clase ("algún humano es concejal").

Las proposiciones categóricas son también, según la cualidad, afirmativas o negativas. 

La proposición afirmativa afirma el predicado de toda la clase o de parte de la misma nombrada por el sujeto.
La negativa, niega que el predicado convenga a toda la clase o a parte de la clase nombrada por el sujeto.

Universal afirmativa: Todo S es P
Universal negativa: Ningún S es P
Particular afirmativa: Algún S es P
Particular negativa: Algún S no es P

Cuadro de oposiciones

En función de la cantidad y cualidad de los juicios categóricos se pueden determinar ciertas relaciones de inferencia inmediata existentes entre ellos. 

Llamando «A» a los enunciados universales afirmativos, «I» a los particulares afirmativos, «E», a los universales negativos, y «O» a los particulares negativos (a partir de las vocales incluídas, respectivamente, en las palabras latinas affirmo y nego), se puede trazar el siguiente diagrama:

En donde los contrarios son A y E; los contradictorios A y O, E e I; los subcontrarios I y O, y donde entre A e I, y entre E y O se establece una relación desubalternancia o subordinación.

Esto implica que :

Dos enunciados contrarios no pueden ser ambos verdaderos a la vez, aunque pueden ser ambos falsos. 

Dos enunciados contradictorios no pueden ser ambos verdaderos ni ambos falsos; si uno es verdadero, el otro es falso, y viceversa. 

Dos enunciados subcontrarios no pueden ser ambos falsos a la vez, pero pueden ser ambos verdaderos. 

En una subalternancia, el juicio subordinado se puede deducir válidamente del subordinante, pero no a la inversa, de modo que si A es verdadero, I también lo es, y si E es verdadero, O también lo es.